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自然数到底可以表示到多大?

日期:2019-07-19

  版权申明:本文为博主窗户(Colin Cai)原创,欢迎转帖。如要转贴,必须注明原文网址  http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/9683271.html   作者:窗户  QQ/微信:6679072  E-mail:6679072@qq.com

  从很小我们 就知道,自然数有无限多个。

  小朋友都对巨大的数有一种天然的憧憬,以至于很多人都会想过这么一个问题,我们可以表示出多大的数?

  小的时候,我就幻想着,我拿着一支笔,然后不断的写9,然后所写的这个数就可以非常非常大了。长大一点才知道,这个根本不算什么,随便一个乘方就把它秒杀了。

  以下我们来看看 递归 的神奇。

  

  Ackermann函数

 

  我想几乎每个正统学习计算机的同学都见过Ackermann函数,

  Ackermann函数带两个参数,两个参数都是非负整数。

  其定义如下:

  对于Ackermann(m,n),

  (1) 如果m=0,则函数值为n+1

  (2) 如果m>0且n=0,则函数值同Ackermann(m-1,1)

  (3) 如果函数m>0且n>0,则函数值同Ackermann(m-1, Ackermann(m, n-1))

  这个函数很恐怖,Ackermann(4,0)=13,Ackermann(4,1)=65533, Ackermann(4,2)有 19729 位,Ackermann(4,3)天知道……

  

 

  

  运算符号的演化

 

  我们最先学会的运算符号是加法,很快我就学会了相同的数连加。

  8个2相加,写起来如下

  2+2+2+2+2+2+2+2

  

  显然,连加的写法过于累赘,于是我们又学习了乘法,上述的式子可以写成

  2×8

  于是顿时简洁了很多。

  注:根据不同理解,也有表示为8×2

 

  自然而然,我们想到了连乘,它可以表达挺大的数了。

  8个2相乘,写起来如下

  2×2×2×2×2×2×2×2

  于是有了乘方来简化,上述表示为28

  

  有了乘方,终于有了第一个大杀器。我们可以连着写乘方,以乘方的结果作为后面乘方的指数,如同连加、连乘那样,比如

  

  它运算的结合是从上往下结合,这个数是很夸张的大,这个宇宙不够存储它的十进制下每一位。

 

  

  高德纳箭头

 

  提起高德纳Knuth,应该计算机界的人都知道吧,我也不用多介绍了。

  他以连加、连乘、连乘方为思路基础,提出了高德纳箭头这样的运算符

  

  a↑b = ab

  a↑↑b = a↑a...↑a   (一共有b个a)

  a↑↑↑b = a↑↑a...↑↑a  (一共有b个a)

   ...

  a ↑b = a ↑n-1 a ... ↑n-1 a  (一共b个a)

  ↑我这里表示为n个箭头。

  之前提到的

  

  用高德纳箭头表示应该是2↑↑6

  这个数箭头只有2个,前后数字都很小,但是已经非常可怕的大了。

  

  葛立恒数

  

  这是曾经出现在数学证明中最大的自然数,不过后面被另外一个数学证明中的TREE(3)刷新纪录。这两个数都与图的染色有关,此处不深入。

  

  葛立恒数是如下表示的:

  g(0) = 4

  g(1) =  3 ↑g(0) 3

  g(2) =  3 ↑g(1) 3

  ...

  g(64) = 3 ↑g(63) 3

  g(64)就是葛立恒数,这个数是夸张的大,别说数本身,就连它的箭头的个数g(63),人们也无法理解它的大小。

  其实就连g(1),人们已经无法理解其大小,甚至理解不了g(1)的大小的大小的大小的......大小。

 

  

 

  Scheme来表示高德纳箭头

 

  因为高德纳箭头的高阶箭头有个很简单的往低阶箭头上展开的关系,所以用Scheme很容易表示,毕竟Lisp是很容易表示递归的。

  

(define (knuth n m cnt_arrow) (define (knuth-list lst cnt_arrow) (cond ((null? (cdr lst)) (car lst)) ((= 1 cnt_arrow) (knuth-list (cons (expt (cadr lst) (car lst)) (cddr lst)) 1)) (else (knuth-list (cons (knuth-list (make-list (car lst) (cadr lst)) (- cnt_arrow 1)) (cddr lst)) cnt_arrow)) ) ) (knuth-list (list m n) cnt_arrow))

 

  当然,上面只是表示出了其递归关系,在现有宇宙下计算不出来^_^比如之前那6个2我们肯定就算不出来,但是5个2也就是2↑↑5我们还是有希望的。

  (knuth 2 5 2)计算结果就不贴了,是一个 19729 位的数,其实等于Ackermann(4,3)+3。

 

  而之前葛立恒数虽然根本算不出来,但用Scheme表示还是很容易的。

  

(define Graham-Number (define (g n) (if (zero? n) 4 (knuth 3 3 (g (- n 1))) ) ) (g 64))

 

 

  康威链式箭头

  

  Conway,著名的生命游戏的提出者,英国数学家。

  他发明的康威链式箭头是个比高德纳箭头还恐怖的东西。

  所谓链式箭头,是一串用箭头串在一起的正整数,比如

  3->5

  2->3->2

  3->4->5->6

  当然,只有一个数也算,那么值就是数本身。链长至少为1。

  另外,康威链式箭头和高德纳箭头不一样,高德纳箭头是运算符,康威链式箭头只是用来连接一个序列。

 

  康威链式箭头怎么计算呢?

  它一共有5条规则,

  (1) 如果链里面只有一个数a,那么值就是a本身

  (2) 如果链里面有两个数,a->b,那么值为ab

  (3) 如果链长超过2,链形如X->a->1,其中X是一条链,那么原链就等于X->a,也就是链长减1

  (4) 如果链长超过2,链形如X->1->(a+1),其中X是一条链,a是正整数(也就是最后一个数大于1,其实等于1也满足,只是同时满足两条规则),原链值同链X

  (5) 如果链长超过2,链形如X->(a+1)->(b+1),其中X是一条链,a、b是正整数(也就是链尾的两个数都大于1),原链值同X->(X->a->(b+1))->a

 

  以上5条规则构造出了比高德纳箭头更疯狂的东西。

  疯狂在哪里呢?之前的葛立恒数g(64)已经很大了,可是以下不等式成立

  3->3->64->2 < g(64) < 3->3->65->2

  3->3->65->2 < 3->3->3->3

  简单的4个3,秒天秒地

 

  以上递归很明显,很工整,用Scheme一样表示,链式箭头的序列就用Scheme里的list直接就可以表示了:

  

(define (conway lst) (define (conway_rev lst) (cond ((null? (cdr lst)) (car lst)) ;规则1 ((null? (cddr lst)) (expt (cadr lst) (car lst))) ;规则2 ((= 1 (car lst)) (conway_rev (cdr lst))) ;规则3 ((= 1 (cadr lst)) (conway_rev (cddr lst))) ;规则4 (else (conway_rev (cons (- (car lst) 1) (cons (conway (cons (car lst) (cons (- (cadr lst) 1) (cddr lst)))) (cddr lst))))) ;规则5 ) ) (conway_rev (reverse lst)))

 

  于是,刚才秒天秒地的3->3->3->3就是(conway "(3 3 3 3))

  

 

, 1, 0, 9);